[Linear Algebra] Background, 배경지식

앞으로 포스팅 할 선형대수(Linear Algebra)에 관한 내용은 MIT의 gilbert strang교수님의 강의를 기반으로 한다. 구글에 검색해보면 길교수님의 강의를 쉽게 찾을 수 있다. 

본격적인 공부에 앞서 선형대수란 놈에 대해서 알아보자.

선형대수란 무엇일까? 

선형대수(Linear algebra)는 선형 방정식을 풀기 위한 방법론이다.  

언뜻 이해하기어려워 보이지만 좀 더 풀어서 써보면...

선형 방정식(linear equation)이 있는데, (2x+3y=0 와 같은...)

여기서 우리는 우측의 해(0)를 만족시키는 x와 y를 찾아내는 것이다. 

방정식(equation)이 하나이고 미지수(unknown) 역시 하나라면 답은 굉장히 쉬울 것이다.

3x+1 = 7, (미지수 x의 값은?)

그러나 2x+3y=0과 같이 식이 하나, 미지수가 두 개인 경우엔 (미지수 x, y)

해를 만족시키는 x와 y를 이 하나의 식만 가지고는 찾아내기가 힘들다. 

일일이 값을 대입해보거나 직관으로 풀어야 하는데 이는 굉장히 비 효율적이다. 

그런데 위와 같은 식이 하나가 더 있다면 어떨까?

같은 차원의 방정식이 하나 더 존재한다면, 우리는 두 방정식의 관계를 이용해 해를 쉽게 찾아낼 수 있는 것이다. 

이것이 우리가 선형대수를 공부하는 목적이다. 

그럼 여기서 선형은 뭐고 대수는 또 뭐지? 와 같은 의문이 들 수 있다. 

정말 간단히 설명하자면...

선형이란 입력에 a라는 영향을 주면 그에 따른 출력 값도 기존에 출력값에서 a라는 영향을 받은 만큼의 결과 값이 나오는 시스템이다. 

즉 다시말하면.. 

어떤 시스템에서 입력값에 영향을 준 만큼 결과 값도 그만큼 영향을 받아서 나오는,

다시 말해 예측이 가능한 시스템이라는 것이다. 

쉬운 예로 직선의 방정식 y=ax를 살펴보면 이해가 쉬울 것이다. 이 방정식의 경우 x에 어떠한 수를 곱해도 y는 a만큼 곱해준 수 만큼 결과 값이 나올 것이다. 

이를 식으로 표현하면 아래와 같다. 

또한 선형성은 아래의 식으로도 정의할 수 있다. 

간단한 직선의 방정식을 통해 위 정의를 검증해 보자. 

(1)번을 살펴보면

 y=3x 라는 식이 있다고 했을 때 x=2인 경우 y는 6이다. 

여기서 x앞의 계수 3을 없애고 x의 결과 값인(y=x) y에 3을 곱해주면 결과 값은 당!연!히! 같아진다. 

(2)번을 살펴보면

x1=3, x2=4, a=6인 경우를 생각해 보자.

y=a(x1+x2) = a(x1)+a(x2)

6(3+4) = 6(3) + 6(4)

= 42

이것이 선형성(linearity)이다. 위에서 정의한 대로 입력 부분의 계수 값에 따라서 결과값이 그대로 예측이 가능하다. 

그렇다면 대수라는건 무엇인가?

대수(代數)라는 말 그대로 "숫자를 대신하는"것(문자)을 의미한다. 

숫자를 대신하는 대수(代數)를 이용하여 방정식을 풀고 해를 구하는 것을 우리는 대수학(代數學)이라고 한다. 

직선의 방정식 y=3x에서 대수는 x, y를 의미하며 3은 대수에 붙은 계수(係數)로써 선형대수에서는 이 계수들이 매우 중요한 의미를 갖는다. 우리는 앞으로 이 계수들을 활용해서 연립방정식의 해를 구하게 될 것이다. 

결국 선형 대수라는 것은 

선형성(linearity)을 가지는 대수(algebra)로 이루어진 방정식들의 해를 구하는 방법론, 혹은 학문이다.