[Linear Algebra] Lecture 1, The Geometry of Linear Equations (1)

앞서 말한 것과 같이 선형대수(Linear algebra)는 선형 방정식(Linear equations)으로 표현되는 어떤 시스템을 풀기 위한 방법론이다. 

 

이를 어떻게 푼다는 것일까? 

 

그 전에 먼저 다음을 살펴보자. 

우선 n개의 선형 방정식들과(linear equations) n개의 미지수(unknowns)가 있는 일반 적이면서 nice한 경우를 가정해 보자. 

식은 아래와 같을 것이다. 

 

 

두 개의 식(1)과 (2), 그리고 두 개의 미지수 x, y가 있다. 이 두 개의 식을 행렬(Matrix)로 표현할 수 있다. 이를 위해선 다음의 3개 요소가 필요하다. 

 

계수 행렬(coefficient matrix)

미지수 벡터(unknown vector)

우변 벡터(right-hand side vector)

 

여기서 계수(coefficient)란 각 미지수 앞에 곱해진 수를 의미한다. 단순히 방정식의 등호 앞의 계수들만 뽑아서 나열하면 된다. 아주 간단하다. (※ 이때 식은 =0의 일반형이어야 한다)

 

어쨋든 이를 행렬로 표현하면 아래와 같다. 

 

 

 

 

왼쪽부터 순서대로 계수행렬(A), 미지수 벡터(x), 우변 벡터(b)이다. 이를 간단히 아래의 식으로 표현할 수 있다.

(여기서 미지수 벡터 x의 차원은 미지수의 개수이다)

 

 

자 지금까지 우리는 어떤 시스템의 선형연립방정식을 행렬로 표현하는 방법을 공부했다. 위 행렬을 중/고등학교때 공부했던 행렬의 계산식대로 곱해보면 처음의 방정식 형태가 나온다는 것을 쉽게 알 수 있을 것이다.

 

 

이제 여기서 우리가 알아야 할 것은 이 시스템에서 다음이 의미하는 것들이다.  

 

- Row picture

- *Column picture

- Matrix form

 

 

Row picture란 쉽게 말해 Row방향의 방정식을 하나씩 보는 것이다. 예를 들면 위 식에서 2x-y=0의 하나의 방정식을 놓고 봤을 때, 이 방정식이 공간상에서 어떻게 표현되는지, 무엇을 의미하는지 아는 것이다.  

 

Column picture는 위 행렬에서 계수 행렬에서 column방향의 벡터들을 보고 이것의 의미가 무엇인지, 그리고 공간상에서는 어떻게 표현 되는지를 이해하는 것이다. 

 

마지막 Matrix form은 이러한 Row와 Column picture들로 이루어진 Matrix에 대해 그 의미를 이해하는 것이다. 위 식에서 A에 해당한다. 

자 그럼 이제 이 내용들을 시각화 하여 이해 해보도록 하자. 

 

우선 주어진 식은 다음과 같다. 아래의 식이 이 시스템을 행렬 형태로(Matrix form)보는 것이기 때문에 Matrix form부분은 설명을 생략한다. 

 

 

1. Row picture

 

앞서 말한 것과 같이 Row picture란 한 번에 하나의 row방향의 방정식을 따져 보는 것을 의미한다. 즉 아래 수식에서 (1)번식, (2)번식 각각을 의미한다. 

선형대수에서 이러한 row방향의 하나의 방정식은 좌표 공간상에서 직선으로 표현된다. 즉 2x-y=0을 만족시키는 모든 x와 y의 점들을 찍으면 결국 좌표 공간 상에서 하나의 직선으로 표현되는 것이다. 

이를 실제로 구현하려면, y=의 꼴로 이항하여 식을 먼저 정리하면 좋다. 정리하면 아래와 같다.

 

 

MATLAB으로 실제로 구현해보자. 코드는 아래와 같다. 

 

 

 

코드 실행 결과는 아래와 같다. 

 

 

 

 

 

주어진 식은 x와 y로 구성된 선형 일차식이기 때문에 그 형태는 무조건 직선이 된다. 

이러한 형태의 식을 그리기 위해선 간단히 해를 만족하는 두 개의 점만 구하면 된다. 

 

첫 번째 식 2x-y=0의 경우 x=0일때 y=0이어야 하므로 [0,0]을 한 점으로 잡을 수 있고 x=1일 때 y=2여야 해를 만족하므로 [1,2]가 두 번째 해를 만족하는 점이 된다. 위 그래프에 실제로 대입해보면 맞는 것을 확인할 수 있다. 

 

두 번째 식 -x+2y=3인 경우 x=1일 때 y=2여야 한다. 따라서 [1,2]가 한 점. y=0일 때 x=-3이므로 [-3, 0] 이 한 점이다. 

 

 

위 그림에서 우리는 두 선이 만나는 지점이 있다는 걸 알 수 있다. 우리는 앞의 내용을 통해 두 직선의 교점이 [1,2] 라는 것을 알 수 있다. 만약 교점이 없다면, 이 시스템의 해는 존재하지 않는다. 

 

결국 선형대수의 행렬에서 Row picture는 Row 방향의 개개의 방정식들이고 이러한 Row 방향의 방정식들은 2x2행렬에선 직선(line)으로 표현된다. (3x3는 plane으로 표현됨)

결국 2x2행렬에서 Row picture의 해는 해당 직선들이 만나는 교점이라는 것을 알 수 있다. 

 

행렬에서 각 Row에 해당하는 방정식을 한 번에 하나씩 보는 것이 Row picture이고,  각 Row방정식들의 교점을 찾는 것이 목표이고 그 교점이 그 시스템의 해다.

 

 

 

2. Column picture

 

다음은 Column picture에 대해 알아보자. 

말 그대로 행렬에서 column part를 보는 것이다. 즉 다시 말하면 행렬에서 x부분과 y부분으로 각각 보는 것이다. 

방정식을 다시 보자. 

 

 

여기서 x column이란 x에만 곱해지는 계수들 즉, [2, -1]이고, y column은 마찬가지로 [-1, 2]이다. b column은 [0, 3]이 된다. 위 식을 column식으로 표현하면 아래와 같다. 

 

 

 

(5)는 (4)를 좀 더 일반적으로 표현한 것이다. 

위 식을 좀 더 자세히 살펴보자. Row picture와는 달리 계수행렬(coefficient matrix)에서 동일한 변수가 곱해지는 계수들을 묶어서 정리한 것이다. 이렇게 정리한 결과는 계수행렬에서 column vector들과 각 변수의 곱의 조합으로 표현되어진다. 

 

다시 말하면.. 

 

좌변에서 [2 -1]벡터에 어떤 상수 x가 곱해진 것과 [-1 2]벡터에 어떤 상수 y가 곱해진 것을 더했을 때 우변의 벡터 결과가 나오는 것이다.  (※ bold체는 벡터를 의미) 우리는 이를 선형 결합(Linear Combination)이라 부르며, 이러한 형태의 연산은 선형대수에서 가장 근본적이며 핵심적인 연산이다.  여기서는 column의 선형 결합(Linear combination of columns)라 할 수 있다.  결국 이 식이 우리에게 묻고자 하는 것은 주어진 벡터들에 어떤 상수 x와 y가 곱해져야 우변의 벡터 값이 나오는가? 이다. 즉 우항의 벡터를 만족시키기 위한 적절한 선형 결합은 무엇인가? 이것이 곧 해이고 핵심이다.

 

자 그렇다면 이러한 column 벡터의 선형 결합이 공간상에서 어떻게 표현되는지 알아보자.  

계수 행렬의 각 column은 공간상에서 벡터로 표현된다. 

 

위의 식 (4)에서 x에 곱해진 벡터 v1과 y에 곱해진 v2, 그리고 u=b를 각각 그려보자. 아래와 같이 될 것이다. 

 

 

 

 

다시 말하자면 이 선형식에서 우리의 목표는 벡터 v1과 v2에 얼마의 상수 x, y를 각각 곱하여 벡터 b를 만드는 것이다. ((5)번식 참조)

 

그렇다면 이 식을 만족시키는 해 x, y는 어떤 값일까? 

 

결론부터 말하자면 해는 [1 2]이다. 눈치 챘겠지만 이 해는 Row picture에서의 해와 같다.  

해를 대입하여 식을 다시 쓰면 아래와 같다. 주어진 식을 만족하는 것을 확인할 수 있다. 

 

 

자 그럼 이제 이를 공간상에서 표현해 보자. 결과 그림은 아래와 같이 될 것이다. 

$1 \; \overrightarrow{\boldsymbol{v_1}}$은 파란색 벡터이고, 이 벡터에 2배 만큼을 곱한 $2 \; \overrightarrow{\boldsymbol{v_2}}$를 더해준다. 이 벡터는 아래 그림에서 자홍색 파선으로 표현된 벡터다. 

자 이렇게 v1과 v2의 선형 결합을 한 결과 벡터가 어느 곳을 가르키고 있는가? 바로 $ \overrightarrow{\boldsymbol{b}}$벡터의 끝점과 일치하는 것을 볼 수 있다. 

   

 

 

 

위 그림을 통해 우리는 행렬의 column picture에서 각 column의 선형결합(Linear combination)이 공간상에서 어떻게 표현되는지를 눈으로 확인할 수 있었다. 

위 그래프를 그리기 위한 MATLAB코드는 아래와 같다. 

 

 

 

결과적으로 우항의 벡터 b를 만족시키기 위한 좌항의 적절한 선형 결합을 찾는 것이 Column picture에서의 목표이다.  또한 Row picture든 Column picture든 어차피 똑같은 시스템 A를 보는 것이기 때문에 결국 해는 같다.  문제를 직선이나 평면 등의 방정식으로 볼 것인지, 아니면 벡터들의 선형 결합으로 볼 것인지가 Row와 Column picture의 차이다.

 

 

다음 시간에는 2차원이 아닌 3차원에서 Row와 Column picture를 확인해보고 이에 대한 좀 더 깊은 이해를 해 보도록 하자.