이번 포스팅에서는 지난 Lecture 18에 이어 determinant에 대한 포스팅을 하려고한다. 지난 시간에는 determinant에 대한 10가지 특성을 배웠다면, 이번 시간에는 determinant의 실제 계산 방법에 대해 다룰 것이다. 이번 강의의 목적은 determinant의 계산 공식을 이해하는 것이다. 설명하는 과정에서 Lecture 18에서 배웠던 특성들을 많이 언급하므로 이번 강의를 보기 전에 지난 강의를 먼저 보고 오기를 추천한다.
1. 행렬식의 계산 방법과 공식(Determinant Formulas)
- Determinant split
지난 시간에 우리는 determinant의 세 가지 주요 특성들에 대해 배웠다. 이를 기반으로 나머지 7개의 특성을 정의할 수 있었고, 총 10개의 determinant의 특성들에 대해 정리하였다. 이 중 가장 중요한 처음 세 가지 특성들을 2x2 행렬을 통해 다시금 정리해보자. determinant의 계산 공식을 유도하기 위해서 말이다.
prop. (1)은 단위 행렬의 determinant가 1임을 나타내었다. 또한 prop. (2)는 행 교환(row exchange)을 했을 때, 부호가 바뀌는 것을 의미한다. 이때 row exchange의 횟수가 홀수번(odd)이면 -1, 짝수번(even)이면 부호는 그대로이다.
prop. (3)는 (3)-1과 (3)-2로 나누어져 있는데, (3)-1은 하나의 row에 곱해진 scale상수를 밖으로 뺄 수 있다는 것이었고, (3)-2는 하나의 row에 대해서 나머지 row는 그대로 유지한 채 분리해서 정리할 수 있다는 것이었다. 여기서는 (3)-2에 대해서 다시 정리해보자.
지난 강의에서는 row 1에 [a' b']이 더해진 것을 가정하고 [a b]와 [a' b']에 대한 determinant로 각각 나누어서 정리하였다. 그러나 이번엔 row2는 그대로 유지한 채, 기존의 [a b]를 [a 0]와 [b 0]에 대해서 나누어 정리하였다. 이렇게 나누어 정리해도 determinant는 같음을 알 수 있다. 식 (2)의 우변은 row1을 분리하여 정리한 것인데, 여기서 row2를 기준으로 한 번 더 분리하여 정리해보자. 우선 첫 번째 determinant식의 row1=[a 0]를 그대로 유지한 채 row2=[c d]를 분리하여 정리하고, 마찬가지로 최 우측의 row1=[0 b]을 유지한 채 row2를 분리하여 정리하면 아래 식과 같다.
이렇게 하여 prop. (3)을 이용하여 행렬식을 분리하여 정리하였다. 이렇게 분리하니 식이 많아지긴 했지만 각각의 계산은 굉장히 간단하다. 아래쪽의 첫 번째와 네 번째 식은 모든 원소가 0인 column vector가 존재하므로 prop. (6)에 의해 determinant가 0이 된다. 즉 pivot이 0인 특이 행렬(singular matrix)이기 때문이다.
두 번째는 대각 행렬(diagonal matrix)이므로 대각 원소들을 그냥 곱하면 된다. 따라서 determinant는 ad가 된다. 세 번째 determinant는 대각 행렬이 뒤집힌 상태이다. 따라서 prop. (2)를 이용하여 row exchange를 하면 일반적인 대각 행렬이 되고, 부호는 -1을 곱해준다. 이 상태에서 prop. (3)-1을 이용하여 각 row에 곱해진 c와 d를 차례로 밖으로 빼내면 결과적으로 ad-bc가 된다. 아래 식은 식 (3)의 아래 에서 두 번째와 세 번째 determinant를 풀어서 계산한 식을 나타낸다.
우리는 최초의 2x2 determinant를 지난 시간에 배운 determinant의 특성들을 이용하여 분리하여 계산하였다. 분리하는 과정은 약간 번거로울 수 있지만, 분리한 뒤의 determinant를 계산하는 것은 매우 쉬운일이다. 그런데 왜 우리가 고작 2x2행렬의 determinant를 구하는데 이렇게 애를 쓸까? 그냥 ad-bc를 하면 될텐데.
우리의 목적은 단순이 2x2행렬의 determinant를 구하는 것이 아니다. 3x3, 4x4, 나아가 n x n행렬의 determinant를 구하는 방법을 알아내는 것이 목적이다.
우리는 2x2행렬을 분리한 결과, 처음에 row1을 각 원소에 대해 쪼개어 두 개의 행렬식을 만들었다. 식 (2)와 같이 말이다. 그 다음은 식 (3)과 같이 row2에 대해서 쪼개어 식을 네 개로 만들었다. 그렇다면 위의 방법을 3x3행렬에 적용하면 어떻게 될까? 3x3의 행렬을 쪼갠다면 다음과 같은 시나리오가 될 것이다.
먼저 row2, row3는 그대로 유지한 채 row1=[a b c]에 대해서 쪼개면 식 (5.1)과 같이 3개의 행렬식이 나온다. 이 쪼갠 행렬의 각각에 대해서 이번엔 row2를 기준으로 쪼갤 수 있다. 식(5.1)의 첫 번째 행렬식을 row2에 대해 쪼갠 것이 식 (5.2)에 나타난 3개의 행렬식이다. 이렇게 하면 식 (5.2) 단계에서는 총 9개의 행렬식이 나온다. 이제 마지막으로 식 (5.2)단계에 있는 행렬식들을 나머지 row는 유지한 채 row3=[g h i]를 기준으로 쪼개면 역시 각 행렬식 당 세 개의 행렬식이 식 (5.3)과 같이 나오게 된다. 결국 3x3행렬식을 각 row에 따라 쪼개면 총 27개의 행렬식이 나오게된다. 행렬식 분리가 완료되면 대부분의 행렬식(determinant)들은 column의 원소가 모두 0이기 때문에 0이 되고 남은 행렬식들을 이용하여 간단히 행렬식을 계산할 수 있다.
4x4를 쪼개면 총 몇 개의 행렬식으로 분리할 수 있을까? 바로 n의 n승, 즉
이다. 3x3의 경우엔 3^3=27, 4x4의 경우엔 4^4=256개의 행렬식으로 쪼갤 수 있다. 물론 실제 determinant를 계산할 때 이렇게 일일이 쪼개서 하라는 것이 아니다. determinant의 계산 과정의 개념적 설명을 하기 위한 과정이다.
식 (5)에서 3x3행렬의 determinant를 분리할 때, 마지막 세 번째 단계에서 총 27개의 determinant를 구하였고, 대부분의 determinant는 0이었다. 그런데 0이 되는 것들은 중요하지 않고, 0이 아닌 것들이 중요하다. 그렇다면 언제 determinant가 0이 아니게 될까?
식 (3)의 마지막 줄을 보면 첫 번째와 네 번째 determinant는 0이 되고 두 번째와 세 번째 determinant만 살아남았다. 이 둘은 공통점이 있는데 무엇일까? 바로 살아남은 각 원소들이 row와 column에 오직 자기 자신만이 존재하는 것이다. 식 (5)에서도 지면의 한계 상 27개의 determinant를 다 적지는 못했지만, 역시 0이 아닌 determinant들은 같은 특성을 보인다. 그렇다면 3x3 determinant를 기준으로 식을 분리했을 때 살아남는 것들을 적어보도록 하겠다.
일단 식 (6)의 첫 번째 determinant를 보면 a11을 기준으로 해당 row와 column에 오직 a11밖에 없다. a22와 a33로 마찬가지로 원소 자신을 기준으로 row와 column에 오직 자기 자신밖에 없다. 27개의 determinant중에 이와 같이 원소를 중심으로 row와 column에 오직 자신만 존재하는 determinant만 0이 아니게되고 살아남게 된다.
첫 번째 determinant는 대각 행렬(diagonal matrix)이므로 대각 원소를 그냥 곱해주면 된다. 두 번째를 보자. a11은 그대로이고 아래에 a23과 a32가 존재한다. 이는 마치 치환 행렬(permutation matrix)과 같은 형태인데, 대각 행렬의 형태로 만들어주기 위해선 row exchange를 해야 한다. 즉 row2와 row3을 교환해주면 대각행렬이 만들어진다. determinant위에 R.E 2,3이 Row Exchange 2, 3을 의미하는 것이며, 지난 시간에 배운 prop. (2)를 통해 부호가 바뀌게 된다. 행 교환을 한 다음 prop. (3)-1을 통해 원소들을 밖으로 빼주면 -a11*a23*a32가 된다.
이번엔 네 번째 determinant를 보자. 네 번째도 대각 행렬 형태가 아니므로 행 교환을 해야하는데, 이번엔 두 번의 행 교환이 필요하다. 먼저 row1과 row3을, 그 다음엔 row2와 row3을 교환해주면 대각행렬이 만들어지는데, 이때 행 교환을 두 번 했기 때문에 부호는 그대로 +가 된다. 나머지도 같은 방법으로 행 교환을 통해 정리해주면 최종적으로 식 (6)과 같이 6개의 행렬식에 대한 식이 만들어진다.
이렇게 하여 3x3크기의 행렬에 대한 determinant식을 완성하였다. 그런데 이 식을 유도하는 방식을 과연 nxn크기의 determinant를 구하는 일반적인 공식(General formula)처럼 사용할 수 있을까? 정답은 No다. 식 (6)의 첫 번째와 여섯 번째 행렬식(determinant)을 보면 첫 번째 행렬식의 부호는 대각 원소들을 그대로 곱해주면 된다. 그러나 여섯 번째 행렬식은 행 교환(row exchange)을 해야 하고 한 번의 행 교환을 통해 부호가 -로 바뀌게 된다. 즉 대각 행렬의 행렬식의 부호는 +, 여섯 번째와 같이 반대 방향의 대각 행렬식(counter diagonal determinant)의 부호는 -가 된다. 그러나 이는 nxn크기의 행렬식에 대해서 일관성이 없다. 아래의 4x4크기의 행렬식을 보자.
식 (7)의 counter diagonal형식의 determinant를 diagonal형태로 만들기 위해선 row1과 row4, row2와 row3의 두 번의 행 교환이 필요하다. 따라서 식 (6)의 경우와는 다르게 부호가 +가 된다. 결과적으로 식 (6)의 공식 유도 방식은 일관성이 없으며 오직 3x3크기의 determinant에만 적용될 수 있다. 만약 4x4에다 위의 방식을 적용하여 식을 만들면 각 크기의 determinant마다 서로 다른 형태의 식이 나오게 되고 식이 무한정 길어진다는 단점도 있다.
우리가 원하는 것은 어떤 nxn 크기의 determinant에도 적용할 수 있는 일반적인 공식이다. 지금부터 임의의 크기의 determinant를 구할 수 있는 일반적인 공식에 대해 알아보도록 하자.
- Big Formula
지금부터 배울 공식은 Big formula로 불리는 공식이며, 2x2, 3x3, 4x4, ... nxn에 모두 적용할 수 있는 determinant를 계산할 수 있는 일반적인 공식(General formula)이다. 즉 nxn크기의 행렬에 대해서 식 (6)과 같이 0이 아닌 텀들의 합으로 determinant를 계산하는 공식이다. 식 (3)에서는 2x2 determinant에 대해서 분리된 행렬식중에 0이 아닌 텀이 두 개이고, 식 (6)의 3x3에서는 총 27개 중 6개이다. 그렇다면 4x4에서는 0이 아닌 행렬식이 몇 개일까? 바로 24개이다. 이를 계산하는 법은 n!(factorial)이다. 3x3은 3!=3x2x1=6, 4x4는 4!=4x3x2x1=24가 된다. 이렇게 0이 아닌 텀을 factorial로 계산하는 이유는 다음과 같다.
Fig. 1 3x3 determinant를 분해하는 과정
일단 앞서 언급했듯이 행렬식을 쪼갠 식 중에서 0이 아닌 살아 남는 식들은 바로 치환 행렬(permutation matrix)형태의 식이다. 즉 쪼갠 식의 각각의 원소가 자기 자신의 위치를 중심으로 row와 column에 오직 자기 자신만 존재하는 형태이다. 이와 같이 행렬식을 쪼갤 때 Fig. 1과 같이 먼저 row1의 3개의 각 원소 a11, a12, a13을 기준으로 식을 분리한다. n=3이기 때문에 a11을 기준으로 쪼갠 행렬식에서 나올 수 있는 조합은 이제 n-1=2개 이다. Fig. 1의 두 번째 줄에서 녹색 영역을 제외한 2x2부분 행렬식에 대해서 이 2개의 경우의 수가 나온다. 이 두 가지의 조합이 바로 마지막 세 번째 줄이다. 이 세 번째 단계에서 나올 수 있는 조합은 이제 n-2=1이므로 a33과 a32를 그대로 쓰면 된다. 나머지 a12, a13도 똑같이 조합에 대한 경우의 수가 row1의 원소들을 시작으로 n-1, n-2과 같이 줄어들기 때문에 결과적으로 n!(factorial)만큼의 살아남는 행렬식들을 계산하고 더해준다. 이때 중요한 것은 절반은 부호가 +, 나머지 절반은 -의 부호를 가진다. 아래식을 보자.
행렬 A의 determinant를 구하는데 있어서 n factorial의 수 만큼 마지막 단계까지 쪼갠 각 행렬식 계산 결과를 더해준다. 다시 한 번 말하지만 n factorial의 수는 행렬을 분해했을 때 0이 아닌 살아 남는 행렬의 수를 의미하고, 형태는 치환 행렬(permutation matrix)을 의미한다. 이 과정을 수식으로 나타낸 것이 식 (8)이다.
여기서 alpha부터 omega는 1부터 n까지의 치환 행렬의 column index를 의미한다. 이때 alpha부터 omega의 column index들은 단 한번씩만 사용된다. 즉 식 (8)의 alpha, bete, ... omega등은 a11a22a33 - a11a23a32 - a12a21a33 + a12a23a31 + a13a21a32 - a13a22a31에서 볼드체 숫자(column index)에 해당한다.
우리는 식 (8)을 이용하여 이전 시간에 배웠던 행렬식의 특성(Determinant properties)들을 전부 확인할 수 있다. 가령 단위 행렬의 determinant가 1인 것은 식 (8)을 이용하여 Fig. 1과 같이 전개해보면 결과값이 1인 것은 오직 첫 번째 텀이다. 따라서 단위 행렬이 1인 것을 식 (8)을 통해 확인할 수 있다. 이와 같이 prop. (1) ~ (10)까지의 모든 특성들도 식 (8)을 통해 확인할 수 있다.
- Example of Big Formula
이제 실제 행렬의 determinant를 Big formula인 식 (8)을 이용하여 풀어보도록 하자. 아래의 4x4의 determinant를 어떻게 푸는지 그 과정을 잘 살펴보도록 하자.
식 (10)은 4x4크기의 행렬의 determinant이다. n=4이기 때문에 행렬식(determinant)을 쪼갤 수 있는 총 가짓수는 4의 4승(4^4)이므로 4x4x4x4=256가지의 행렬식으로 분해할 수 있다. 그러나 이 중 0이 아닌 살아남는 행렬식(Permutation matrix type)은 4!=4x3x2x1=24개이다. 그러나 식 (10)의 많은 원소들이 0을 포함하고 있기 때문에 이 24개 중에서도 대부분의 행렬식이 0이 된다. 따라서 계산을 효율적으로 하기 위해 0이 아닌 원소들을 치환 행렬의 조건에 맞게 순차적으로 선택하여 행렬식을 계산해 보도록 하자. 아래 그림을 보자.
Fig. 2 Big Formula를 이용한 4x4 determinant의 계산
Fig. 2는 식 (8)에 나타난 Big Formula를 이용하여 4x4 행렬의 determinant를 구하는 모습이다. step1-1을 보면 먼저 원소 중에 0이 아닌 원소를 하나 고른다. 맨 처음 고른 원소는 a14의 위치에 있는 원소를 골랐으며, 이 원소를 중심으로 row와 column의 원소들은 다음 step에서 고를 수 없다. 즉 step1-2에서 원소를 고를 때는 step1-1의 흰색 영역에 있는 원소들 중에 0이 아닌 원소들을 골라야 한다. step1-2에서는 a23의 위치에 있는 원소를 골랐다. 역시 step1-3에서는 step1-2의 흰색 영역의 원소들 중에 골라야 하며 a32를 골랐다. 마지막 step1-4에서는 딱 하나 남은 원소인 a41의 위치의 원소를 고른 모습이다.
이렇게 하여 step1-4에서 반대방향 대각선의 원소들을 골랐으며, perm(4,3,2,1)로 표기를 하였다. 여기서 괄호 안의 숫자들은 column의 index를 의미한다. 즉 (4,3,2,1)은 순서대로 row1의 column index가 4, row2의 column index가 3, row3의 column index가 2, row4의 column index가 1임을 각각 의미한다. 결과적으로 치환 행렬(permutation matrix)형태의 행렬이 만들어진 것이다. perm(4,3,2,1)의 치환 행렬을 대각 행렬(diagonal matrix)의 형태로 만들기 위해선 두 번의 행 교환(row exchange)이 필요하다. 4와 1, 그리고 2와 3을 교환 하면 대각 행렬이 만들어진다. 따라서 prop. (2)에 따라 부호는 원래대로 +이며, prop. (7)에 따라 대각 원소들끼리 곱해주면 결과적으로 1이 나온다.
두 번째로 step2-1 ~ step2-4의 단계도 역시 같은 방법으로 이전 단계의 흰 영역중 0이 아닌 원소들을 선택하는 방법으로 Big Formula를 적용하면 perm(3,2,1,4)가 나온다. 여기 까지 하고 나면 행렬식의 모든 원소에 대해서 처리를 했기 때문에 그 이상의 과정은 필요없다. 원래는 4x4의 경우 24개의 텀에 대하여 모두 계산해야 하지만, 이 예제에선 나머지 원소들이 0이기 때문에 하나의 원소라도 0이면 determinant가 0이 되기 때문에 더 이상 진행할 필요가 없는 것이다. 결국 step2-4를 통해 구한 perm(3,2,1,4)의 경우, 3과 1의 한 번의 row exchange만 하면 대각 행렬이 되기 때문에 부호는 -가 되고 결과는 -1이 된다. step1과 step2에서 구한 행렬식의 값들을 더하면 결과적으로 det A는 0이 된다. 결국 Fig. 2의 행렬식은 determinant가 0이기 때문에 특이 행렬(singular matrix)이다. 특이 행렬이기 때문에 row의 선형 결합(Linear combination)이 0이 된다. (row1+row3) - (row2+row4) = 0. column의 경우도 마찬가지이며, 특이 행렬이기 때문에 column의 선형 조합을 통해 영벡터(zero vector)를 만들 수 있는 null space가 존재한다.
이번 섹션에서 다루었던 Big Formula의 내용을 잘 이해하고, 이를 기반으로 다음 섹션에서 여인수(Cofactor)에 대해 공부해보도록 하자.
2. 여인수(Cofactor)
여인수(cofactor)는 이전 섹션에서 배웠던 식 (8)의 Big formula를 분할하는 방법이다. 즉 nxn의 determinant를 이보다 한 단계 작은 크기인 (n-1)x(n-1)의 determinant와 연결시키는 방법이다. 이를 여인수 전개(cofactor expansion)라 한다. 식 (8)의 Big Formula는 식 (6)과 같이 determinant의 모든 식을 나열하는 방식이다. Big Formula를 이용하여 구했던 식 (6)의 3x3 determinant를 cofactor를 이용하여 계산해보자. 아래 그림을 보자.
Fig. 3 cofactor를 이용한 determinant의 계산
Fig. 3은 기존의 Big Formula를 이용하여 계산한 determinant를 cofactor를 이용하여 계산한 것이다. row1의 첫 번째 원소 a11을 선택하고 나머지 2x2공간(흰 부분)에 대한 모든 경우를 계산하여 a11에 곱해준다. 이때 최초에 선택한 a11을 factor, 나머지 2x2의 모든 경우에 대한 계산이 괄호안에 있는 (a22a33 - a23a32)이며 이를 여인수(cofactor)라고 한다. cofactor라는 말은 factor에 "공동", "협동"이라는 뜻을 지닌 접두사 co가 붙어서 factor와 공존하는 cofactor라는 뜻이 된다. 두 번째 파란 줄로 표시된 cofactor는 a12앞의 부호를 +로 만들기 위해 순서를 바꾸어 더해준 것이다.
그렇다면 cofactor를 단순히 factor를 중심으로 식을 묶어준 것이 지나지 않는 것일까? 단순히 그렇지는 않다. 아래 그림을 보자.
Fig. 4 nxn과 (n-1)x(n-1)의 determinant 사이의 연결고리 역할을 하는 여인수(cofactor)
cofactor는 앞서 언급했듯이 nxn의 determinant와 (n-1)x(n-1)의 determinant의 연결고리다. 3x3의 determinant의 한 factor인 a11은 이보다 한 단계 작은 2x2의 determinant와 곱해지는데, 여기서 2x2 determinant가 바로 여인수(cofactor)이다. 이는 처음에 factor를 선택하고나면 factor가 있는 row와 column은 다른 원소를 사용할 수 없기 때문에 치환 행렬(permutation matrix)의 형태를 만들기 위해서는 이보다 한 단계 작은 (n-1)크기의 determinant를 고려해야 한다. 결국 (n-1)x(n-1)의 determinant인 cofactor는 nxn의 determinant를 계산하기 위한 각 factor와 관련된 모든 가능한 치환 행렬의 부분 조합이라고 할 수 있다.
지금까지 우리가 예를 들 때 factor를 항상 row1에서 선택했는데, 사실 반드시 row1에서 선택할 필요는 없다. factor는 어떤 row에서 선택해도 무방하지만 계산하기가 편리하기 때문에 row1에서 선택한 것이다.
아무튼 이러한 cofactor를 일반적인 식으로 정의해보면 다음과 같다.
factor aij의 cofactor Cij는 factor aij의 i번째 row와 j번째 column을 제외한 나머지 n-1크기의 행렬에 대한 determinant를 의미한다. 여기서 한 가지 법칙이 존재하는데, cofactor는 i와 j인덱스에 따라 부호가 결정되는데, 바로 i+j가 짝수(even number)이면 부호는 +를, 홀수(odd number)이면 -부호를 가진다. 이 cofactor에 대한 공식은 아래와 같이 쓸 수 있다.
식 (12.1)은 row1에 대한 cofactor공식이며, row의 index는 어떤 것이라도 가능하다. 식 (12.2)는 cofactor의 부호를 나타낸다. cofactor의 i와 j의 index의 합이 짝수냐, 홀수냐에 따라 부호가 마치 체스보드처럼 교차하여 나타나는 것을 볼 수 있다.
아래의 식 (13)은 cofactor 공식을 이용하여 2x2행렬의 determinant를 구한것이다. 아래와 같이 ad+b(-c)가 나올 것이다.
a11의 cofactor C11은 +d가 되고, C12는 i+j=1+2=3(odd)이기 때문에 -c가 된다. 이와 같이 3x3, 4x4, nxn의 determinant에 대해서도 cofactor를 이용하여 계산할 수 있다. cofactor를 이용한 4x4행렬의 determinant계산을 끝으로 이번 챕터를 마무리 하도록 하자.
위의 식 (14)는 식(10)에서 Big Formula를 이용해 풀었던 행렬이다. 이를 cofactor를 이용하여 풀어보도록 하자. 이번 예제를 통해 보이고자 하는 것은 cofactor를 이용하여 nxn과 (n-1)x(n-1)의 determinant를 어떻게 연결지어 풀 수 있는지를 보이고자 하는 것이다. 아래 그림은 식 (14)의 determinant를 행렬식을 이용하여 풀이한 과정을 나타낸다.
Fig. 5 여인수(cofactor)를 이용한 4x4행렬의 determinant 계산
맨 처음 4x4행렬에 대한 여인수(cofactor) 식을 세우면 det A = a11C11+a12C12+a13C13+a14C14 와 같이 된다. 이 중 a11과 a12의 값이 0이기 때문에 캔슬 되고 나머지 텀인 a13C13+a14C14만 남게 된다. 이때의 cofactor C13과 C14는 맨 처음 행렬 그림에서 각각 흰색 부분의 3x3행렬에 대한 determinant를 나타내고, 이것을 행렬식으로 표현한 것이 바로 그 아래에 있는 식이다. 이때 두 번째 행렬식의 부호가 -인 이유는 C14의 인덱스의 합이 1+4=5와 같이 홀수가 되므로 부호는 음수가 된다. 그 다음 3x3행렬식을 cofactor 공식을 이용하여 2x2행렬로 나타내고, 마지막에 cofactor의 index에 따른 부호를 고려하여 determinant를 계산해주면 결과적으로 0이 나오는 것을 볼 수 있다. 맨 아래 왼쪽의 2x2행렬식은 원래 1(ad-bc) = 1(1-0) = 1이지만, 이때의 cofactor의 index C12가 1+2=3으로 홀수이기 때문에 부호가 -가 된다. 이와 관련해서는 식 (11)을 참조하자. 결과값은 -1 - (0-1)=0이 된다.
결과적으로 cofactor를 이용하여 최초의 4x4의 행렬식(determinant)으로부터 3x3, 2x2와 같이 작은 크기의 행렬식으로 정리하여 행렬식을 풀 수 있었다. Fig. 5를 잘 이해하도록 하자.
3. 마치며
이번 포스팅에선 행렬식(determinant)의 실제 계산법에 대하여 공부해봤다. 지난 강의(Lecture 18)에서 배웠던 행렬식의 특성들을 이용하여 Big Formula를 유도하였고, 이를 통해 여인수(cofactor)를 소개하였다. cofactor는 궁극적으로는 nxn의 행렬식을 계산함에 있어 최초의 nxn의 행렬식으로부터 단계적으로 (n-1)x(n-1)의 행렬식과의 관계를 cofactor로 정의하고 이를 통해 행렬식을 계산하는 것에 그 목적이 있다. 사실 일반적으로는 3x3의 행렬식의 계산법 정도는 손으로 풀 줄 알면 좋지만, 그 이상의 크기는 컴퓨터를 이용하여 계산하기 때문에 반드시 알고 있어야 할 필요는 없을 것 같다. 이렇게 계산할 수 있구나 정도면 알아두면 무리가 없을 것이다. 물론 시험을 봐야 하는 학생들은 예외^^