이번 강의는 행렬식(Determinant)에 관한 마지막 강의다. 이번에 알아볼 내용은 determinant가 기하학적(geometrical)으로 어떤 의미를 갖는지에 대해서 알아볼 것이다. 미리 결론부터 언급하자면 행렬식(determinant)은 기하학적으로 부피(Volume)와 관련이 있다. 즉 2D에서는 넓이를, 3D에서는 부피를 각각 의미한다. 그러나 4차원 이상의 공간은 우리의 상상력을 필요로 하기 때문에 여기서는 2차원과 3차원 행렬에 대해서만 알아볼 것이다. 그 이상의 차원에 대해서는 여러분의 상상에 맡기도록 하겠다. determinant가 공간에서 어떤 의미를 갖는지, 또한 부호는 어떤 것을 의미하는지를 알아보도록 하자.
1. 행렬식과 넓이(Determinant and Area)
- Area of parallelogram by determinant
앞서 언급했듯이 행렬식(Determinant)은 기하학적으로 부피(Volume)와 관련이 있다. determinant가 부피 그 자체이다. 넓게 보면 어떤 상자의 부피가 되지만, 2차원 공간에서는 두 row벡터로 형성되는 평행사변형(parallelogram) 넓이(area)로 표현된다. 정의는 아래와 같다.
일단 바로 예를 들어보도록 하겠다. 다음의 2x2크기의 행렬 A를 보자.
평행사변형(parallelogram)은 행렬 A의 row 벡터들을 이용하여 정의할 수 있다. 즉 row1이 벡터 v1이고 row2가 벡터 v2라고 생각하면 된다. 반대로 어떤 두 벡터 v1과 v2가 있을 때, 이를 행렬로 만든 것으로 생각해도 될 것 같다. 어쨋든 행렬 A의 row 벡터들을 이용하여 평행사변형을 표현하면 아래와 같다.
Fig. 1 행렬 A의 row벡터들로 형성된 평행사변형(parallelogram)
Fig. 1의 빨간색 벡터는 행렬 A의 row1, 녹색 벡터는 row2이고, 이 두 벡터의 덧셈과 함께 형성되는 영역, 즉 그림에서 노란색 영역이 바로 두 벡터로 형성되는 평행사변형의 영역이다. 이때 노란색 평행사변형의 넓이는 바로 행렬 A의 determinant와 같다. determinant는 ad-bc=12-2=10이고, Fig.1 의 평행사변형의 넓이는 10인 것을 알 수 있다.
- Proof
그런데 식 (3)의 determinant가 정말 저 평행사변형의 넓이가 맞을까? 하는 의문이 드는 사람도 있을 것이다. 넓이가 정말 10이 맞는지 평행사변형 공식을 이용해 한 번 증명해보자. 일단 평행사변형의 넓이 공식은? (밑변) x (높이)다. Fig. 1에서 밑변은 v1벡터의 크기가 될 것이고, 높이는 v2에서 v1으로 수직으로 연결한 선이 될 것이다.
Fig. 2 평행사변형의 높이와 넓이 계산
Fig. 2의 평행사변형의 높이 $l$은 벡터 v2를 v1에 투영시켰을 때 나오는 투영 벡터인 p를 v2에서 뺀 error벡터와 같다. 이는 Lecture 15-(2)에서 배웠던 투영(projection)을 통해 $l$을 계산하는 방법이다. 그러나 이번엔 간단하게 삼각함수를 이용하여 구해보도록 하자. $l$은 v2의 크기에 v1과 v2의 사잇각의 sin값을 곱해주면 된다. 그러나 여기서 v1과 v2의 벡터 좌표만 알고 두 벡터 사이의 각도는 알려져 있지 않다. 그러나 두 벡터의 내적(dot product)을 통해 사잇각을 구할 수 있다. 이와 관련된 내용은 앞서 언급했던 Lecture 15-(2)에 나타나있지만, 한 번 더 써보도록 하자.
식 (4)을 보면 내적(dot product)공식을 이용해 두 벡터 v1과 v2사이의 각도 $\theta$를 알아냈다. 그리고 알아낸
$\theta$와 v2의 크기, 그리고 삼각함수를 통해 평행사변형의 높이 $l$을 알아냈다. 이제 평행사변형의 밑변인 ||v1||과 곱해보자.
계산 결과 평행사변형의 넓이는 10이다. 우리는 이미 식 (3)에서 행렬 A의 determinant를 통해 Fig. 1과 Fig. 2에서 보인 평행사변형의 넓이를 구하였고, 그 결과는 10이었다. 이는 삼각함수를 통해 계산한 결과와 같음을 알 수 있다. 결과적으로 아래와 같은 정의를 할 수 있다.
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임의의 2차원 정방행렬(square matrix) A의 행렬식(determinant)은 A의 row벡터들로 형성되는 평행사변형(parallelogram)의 넓이(area)와 같다.
 결과적으로 우리는 임의의 (직)사각형 (or 평행사변형)의 코너에 대한 좌표(coordinate)만 알면, determinant라는 훌륭한 공식을 통해 넓이를 간단히 구할 수 있다. |
- Area of triangle
위의 식 (6)의 정의를 응용하여 삼각형의 넓이도 간단히 구할 수 있다. 아래 그림을 보자.
Fig. 3 평행사변형의 절반의 넓이인 삼각형
Fig. 3의 노란색 삼각형의 넓이는 평행사변형의 넓이의 정확히 절반에 해당하기 때문에 간단히 determinant에 1/2를 곱해주면 된다. 결과적으로 Fig. 3의 노란색 삼각형의 넓이는 5임을 알 수 있다.
그런데 만약 삼각형이 원점으로부터 떨어져 있는 경우엔 어떻게 구할 수 있을까? 알다시피 삼각형은 세 개의 꼭지점을 가지고 있고, Fig. 3의 삼각형은 3개의 꼭지점 중에 첫 번째 점이 원점(0,0)에 있다고 볼 수 있다. 이 첫 번째 점이 원점이 아닌 (1,2)에 존재한다고 생각해보자. 아래 그림은 Fig. 3의 삼각형을 원점으로부터 [1, 2]만큼 떨어뜨린 것으로 생각하면 된다.
Fig. 4 원점으로부터 떨어져있는 삼각형
Fig. 4의 삼각형은 첫 번째 꼭지점이 원점이 아니라 원점으로부터 (1, 2)만큼 떨어져 있다. 이 경우엔 삼각형의 넓이를 어떻게 구할 수 있을까? 일단 각 꼭지점은 원점으로부터의 벡터들로 볼 수 있다. v1, v2, v3가 바로 그것이다. 여기서 삼각형의 각 변의 길이인 a, b, c를 알 수 있다면, 헤론의 공식(Heron's formula)등을 이용하여 삼각형의 넓이는 어렵지 않게 구할 수 있다. 여기서 Fig. 4의 a, b, c는 아래와 같이 각 벡터의 뺄셈의 크기와 같다.
헤론의 공식을 이용하면...
계산 결과 삼각형의 넓이는 5가 되고, 식(7)의 결과와 같은 것을 볼 수 있다.
답을 구하긴 했지만 계산량이 너무 많다. 좀 더 간단하게 구할 수 있는 방법이 없을까? 당연히 있다. 방법은 바로 v1의 위치에 해당하는 꼭지점을 원점으로 끌고 온 뒤, 평행사변형의 넓이를 구하여 1/2를 곱해주는 것이다. 어떻게 끌고올 수 있을까? 벡터 뺄셈을 통해 간단히 끌고올 수 있다. v2-v1의 벡터와 v3-v1의 벡터가 각각 Fig. 3의 v1과 v2이다. 실제로 계산을 해봐도 같은 결과가 나옴을 알 수 있다. v2-v1=[5 3]-[1 2]=[4 1], v3-v1=[3 5]-[1 2]=[2 3]이다. 이들의 determinant를 구하면 평행사변형(parallelogram)의 넓이가 나오고, 1/2를 곱해주면 삼각형의 넓이가 나온다. 결론적으로 원점에서 떨어진 삼각형의 넓이는 벡터 뺄셈을 통해 첫 번째 꼭지점을 원점으로 끌고온 뒤, determinant의 계산을 통해 구한 평행사변형의 넓이에 1/2를 곱하여 계산할 수 있다.
혹은 세 꼭지점을 나타내는 벡터들을 이용하여 아래와 같이 행렬에 대한 식을 세운 뒤 determinant를 계산하여 원점으로부터 떨어진 삼각형의 넓이를 계산할 수도 있다. 아래 식은 Fig. 4의 삼각형의 꼭지점들로 만든 행렬이다.
식 (10)의 행렬 A는 각 row 벡터들이 원점으로부터 떨어진 삼각형의 3개의 꼭지점들로 이루어져 있다. 여기에 각 row 벡터의 마지막에 1을 붙여서 3x3행렬을 만들어준다. 그 다음 row1를 제외한 나머지 row 벡터에서 row1을 빼서 마지막 원소들을 0으로 만들어준다. 식 (10)의 우측의 A'은 각 row 벡터에서 row1을 빼서 만든 행렬이다. 다음으로 A'의 determinant를 계산하고 2로 나누어주면 삼각형의 넓이가 나온다.
식 (9)에서 헤론의 공식을 이용한 방법보다 훨씬 간단하게 넓이를 계산했다. 식 (10)에서 삼각형의 꼭지점을 이용해 행렬을 만들 때 1을 붙인 이유는 넓이를 determinant의 계산을 통해 풀기 위함이다. 이렇게 하여 determinant를 통해 삼각형의 넓이를 구할 수 있었다.
- Sign of Determinant
우리는 앞서 2x2크기의 정방행렬의 행렬식(determinant)이 row벡터들로 이루어지는 평행사변형의 넓이임을 알았다. 그런데 어떤 determinant는 부호가 +인 반면, 어떤 것은 -를 가진다. 넓이가 -값을 가진 다는 것이 언뜻 이해가 가지 않을 것이다. 그렇다면 determinant에서 부호가 의미하는 것은 무엇일까? 아래 그림을 보자.
Fig. 5 determinant의 부호에 따른 좌표계. [Left] determinant의 부호가 +일 때 Right-handed. [Right] determinant의 부호가 -일 때 Left-handed
determinant의 부호는 volume의 좌표계를 결정짓는다. determinant의 부호가 +일 때 평행사변형은(혹은 사각형, 3차원에선 box) 오른손 좌표계(Right-handed)를, 부호가 -일 때 왼손 좌표계(Left-handed)가 된다.
Fig. 5은 determinant의 부호에 따른 좌표계의 변화를 나타낸다. 왼쪽은 기존의 A행렬에 대한 평행사변형을 나타낸다. 이때의 determinant는 10이고 +부호를 가지기 때문에 평행사변형이 오른손 좌표계로 형성됨을 볼 수 있다. 반면 오른쪽은 기존 행렬 A의 row1의 4를 -4로 만들어주었으며, 이때의 determinant는 -4*3-2=-14가 된다. 부호가 -이기 때문에 왼손 좌표계가 됨을 볼 수 있다. 좌표계는 3차원에서 z축을 결정하기 때문에 중요하다. Fig. 5의 왼쪽의 오른손 좌표계는 z축이 화면에서 나오는 쪽으로 형성되고, 오른쪽 그림도 오른손 좌표계였다면 화면에서 들어가는 쪽으로 z축이 형성이 되겠지만, 왼손 좌표계이기 때문에 역시 화면에서 나오는 쪽으로 형성된다. 좌표계는 3차원 행렬에 대한 determinant를 설명할 때 다시 보도록 하겠다.
- MATLAB Implementation
아래 그림은 MATLAB 구현 코드와 Plot 결과이다. 변수나 row 벡터들의 부호 등을 바꿔가며 테스트 해보길 바란다. 한 가지 더 알아둘 것은 우리는 지금까지 행렬 A의 row벡터들을 평행사변형의 정점으로 하여 넓이를 구하였다. 그렇다면 column 벡터는 정점이 안되는걸까? 물론 가능하다. MATLAB코드의 처음 부분에 주석 처리된 transpose코드 A=A'를 주석 해제하고 프로그램을 돌려보면 된다. 물론 모양은 약간 달라지겠지만, 그 넓이는 같다.
Fig. 6 MATLAB Plot 결과
2. 행렬식과 부피(Determinant and Volume)
- Volume of a box by determinant
첫 번째 섹션에서는 2차원 공간에서 평행사변형(parallelogram)의 넓이(area)를 determinant를 통해 구할 수 있음을 배웠다. 이번 섹션에서는 n차원 공간의 경우를 살펴보자. n차원이라고는 하지만 실제 그림을 통한 표현은 3차원을 대상으로 한다. 4차원 이상에 대해서는 그림을 통해 표현할 길이 없고 그저 상상에 맡기도록 하겠다. 어쨋든 4차원 이상의 공간에서도 어떤 box의 volume으로 생각하자.
어떤 임의의 정방행렬 A의 행렬식(determinant)은 행렬을 통해 표현되는 상자(box)의 부피(volume)을 나타낸다.
우리는 여기서 3차원 공간에대한 것을 이야기 해보자. 어떤 3x3크기의 행렬의 행렬식(determinant)는 상자의 부피를 나타낸다. 아래의 3x3행렬을 생각해보자.
행렬 A의 각 row벡터는 우리가 공간에서 나타내고자 하는 상자의 각 정점이 된다. 일단 식 (13)의 A를 공간상에 표현해보자.
Fig. 7 행렬 A의 row벡터들이 형성하는 3차원 공간의 box
이번 강의에서 우리가 하고자하는 것은 이 row벡터들이 형성하는 어떤 box의 부피를 determinant로 구할 수 있음을 보이는 것이다. 우선 해야할 일은 row벡터들이 형성하는 box가 공간상에서 어떤 모양으로 표현되는지를 알아야 한다. Fig. 7은 식 (13)의 행렬 A의 row벡터들이 형성하는 상자(box)를 3차원 공간에 표현한 것이다. v1은 빨간색, v2는 녹색, v3는 파란색 벡터로 각각 표현하였다. 또한 노란색 영역은 v1과 v2가 형성하는 평행사변형을 의미한다. 파란색 점선 벡터로 표현된 선들을 통해 행렬 A의 row벡터들이 형성하는 상자의 모양을 눈으로 확인할 수 있다. 보다시피 일반적인 cube형태의 상자가 아닌 기울어져 있는 모습이다.
행렬식(determinant)을 계산하여 식 (13)의 행렬 A로 형성되는 상자의 부피를 계산하면 다음과 같다.
- Proof
3차원 공간의 어떤 상자의 부피를 계산하기 위해선 (가로)x(세로)x(높이)를 계산하면 된다. 그러나 Fig. 7에서 보이듯이 일반적인 cube형태의 직사각형 모양이 아니다. 평행사변형 모양으로 벡터들이 기울어져있는 형태이다. 이 경우엔 부피(volume)를 어떻게 구하면 될까? 우선 v1과 v2로 만들어지는 평행사변형의 넓이를 구한 뒤, 높이를 곱해주면 된다. 평행사변형의 넓이는 앞서 구한 것과 같은 방법으로 계산하면 된다. 즉 내적(dot product)을 이용하여 v1과 v2사이의 각도를 알아내고, 두 벡터의 크기와 사잇각에 대한 sin값을 곱해주면 된다. 자세한 방법은 식 (4)와 같은 방법이기 때문에 이를 참고하도록 하고, 값을 계산해보면 아래와 같다.
Fig. 7의 평행사변형의 넓이는 9.4868임을 알았다. 이제 높이를 구해서 곱해주면 상자의 부피를 구할 수 있다. 그런데 그냥 단순히 v3의 크기를 곱해주면 되는 걸까? 결론적으로 그냥 곱해서는 안된다. 물론 v3 벡터가 v1과 v2로 만들어지는 평행사변형에 수직(orthogonal)하다면 그냥 v3의 크기를 곱해줘도 무관하다. 그러나 이 경우엔 v3가 수직이 아니기 때문에 그냥 곱해서는 안된다. 실제로 v3가 v1과 v2에 수직이 아님을 알아보는 방법은 v3와 v1, v3와 v2를 각각 내적하여 각도를 알아보면 된다.
v3와 v1, v2가 이루는 각도가 각각 59.21도, 97.44도 이기 때문에 수직이 아니다. 그렇다면 실제 높이를 구하기 위해선 어떻게 해야할까? 바로 Lecture 15-(2)에서 배웠던 투영(projection)을 이용하는 것이다. 즉 v3를 v1과 v2로 이루어지는 평면에 투영시켜서 얻을 수 있는 error벡터가 바로 높이가 되는 것이다. Lecture 15-(2)에서 투영을 할 때 우리는 투영 시키는 평면을 column space로 간주했었다. 여기에서도 마찬가지로 v3를 v1과 v2로 형성되는 평행사변형에 투영하는 것이기 때문에 v1과 v2를 column space의 기저(basis)로 간주하고 계산하면 된다. 아래와 같은 식으로 3차원 평행사변형의 높이(height)를 계산하면 된다. 투영에 대한 자세한 사항은 Lecture 15-(2)를 참고하기 바란다.
아래 그림은 식 (17)으로 구한 error벡터, 즉 평행사변형의 높이를 나타낸 것이다.
Fig. 8 투영(Projection)을 통해 구한 error 벡터. 평행사변형의 높이(보라색)
Fig. 8의 보라색 벡터가 v3의 투영을 통해 구한 error벡터이자 평행사변형의 높이를 나타낸다. error벡터는 평행사변형에 수직임을 알 수 있다. 이제 식 (15)에서 구한 노란색 영역의 평행사변형의 넓이와 높이인 error벡터의 크기를 곱해주면 행렬 A로 형성되는 상자의 부피를 구할 수 있다.
벡터 연산과 삼각함수를 통해 계산한 상자의 부피는 24이며, determinant를 통해 구한 식 (14)의 부피와 같은 값을 가진다. 따라서 determinant가 상자의 부피를 나타냄을 증명하였다.
- Sign of Determinant in box
우리는 앞서 행렬식(determinant)의 부호가 좌표계를 결정한다고 배웠다. 즉 determinant의 부호가 +이면 오른손 좌표계(Right-handed)를, 부호가 -이면 왼손 좌표계(Left-handed)를 나타낸다. 예제를 통해 바로 확인해보자.
Fig. 9 determinant의 부호에 따른 좌표계 변화
Fig. 9는 determinant의 부호에 따른 좌표계의 변화를 나타낸다. 왼쪽은 determinant가 24이고 부호는 +이며 좌표계는 오른손 좌표계(Right-handed)가 된다. 반면 오른쪽은 determinant가 -48이며, 부호가 -이기 때문에 왼손좌표계가 된다. 앞서 설명을 했기 때문에 따로 부연설명을 하진 않겠다.
3. 행렬식의 특성에 따른 부피(Volume with respect to the Properties of Determinant)
우리는 지난 강의 Lecture 18에서 행렬식의 특성 10가지를 배웠다. 이 특성 10가지는 처음 3개의 특성으로부터 유도 됨을 배웠다. 이 3개의 특성이 기하학적으로 어떻게 표현되는지 알아보도록 하자.
- prop.(1) :
첫 번째 특성은 단위 행렬(Identity)의 행렬식(determinant)는 1이라는 것이다. 3x3단위 행렬을 예로 들어보자.
행렬 A의 각 row벡터는 식 (19)와 같이 v1, v2, v3가 되고, 이들은 서로 직교(orthogonal)하며 크기가 1인 벡터들이다. 이 벡터들로 형성되는 상자(box)는 어떤 모양일까? 바로 정육면체(cube)의 모습이다. 정육면체의 부피(volume)는 마찬가지로 (가로)x(세로)x(높이)로 구할 수 있는데, 각각의 수치가 모두 1이기 때문에 결과적으로 부피는 1이 된다. prop.(1)을 통해 단위 행렬의 determinant가 1임을 보였고, 단위 행렬로 만들어지는 상자가 기하학적으로도 동일하게 1의 부피(volume)를 갖는 것을 보였다. 결과적으로 임의의 차원의 단위행렬의 determinant는 공간상에서 cube형태의 상자를 나타내고, 이것의 부피는 항상 1임을 알 수 있다. 이를 통해 determinant는 어떤 상자의 부피(volume)와 같음을 알 수 있다.
약간 비슷한 경우의 행렬을 살펴보도록 하자. 우리는 Lecture 17-(2)에서 Q행렬에 대해 배웠다. Q행렬은 알다시피 기존의 특이 행렬(singular matrix)이 아닌 행렬 A로부터 정규직교(orthonormal)한 행렬을 만든 것이다. 그렇다면 이러한 Q행렬은 공간상에서 어떤 모양으로 나타날까? 역시 cube모양이다. 즉 단위행렬로 정의된 cube와 같은 모양이다. 그러나 다른 것은 바로 회전이 된 cube라는 것이다. 아래 그림을 통해 차이점을 확인하자.
Fig. 10 단위 행렬(Identity Matrix)과 Q행렬의 기하학적 표현
Fig. 10의 왼쪽은 단위행렬을, 오른쪽은 식 (13)의 Q행렬을 3차원 공간상에 표현한 것이다. Q행렬의 cube는 단위 행렬의 cube와 모양이나 크기, 부피 등은 똑같지만, 원점을 중심으로 회전한 형태이다. 결국 단위행렬과 모든 것이 같지만, 회전했다는 것이 다르다. 그러므로 Q의 determinant는 단위 행렬의 determinant와 같이 1이 되어야 한다. Q행렬의 determinant가 1이 된다는 것을 식으로 증명해보자.
식 (20.1)에서 Q는 정규직교행렬(orthonormal matrix)이기 때문에 전치(transpose)가 곧 역행렬이 된다. 따라서 이는 단위행렬이 된다. 다음으로 양변에 determinant를 취해주면 식 (20.2)와 같이 되고, (20.3)에서 좌편은 prop. (9)에 의해 분리가 되고, 우변은 prop. (1)에 의해 1이 된다. 마지막으로 식 (20.4)에서는 prop. (10)에 의해 transpose의 determinant도 원래와 같기 때문에 Q의 제곱이 된다. 따라서 Q의 determinant는 1이 된다. 사실 복소수(complex number)까지 고려한다면, 식 (20.4)에 의해 Q의 determinant가 -1이 되기도 한다. 일단 복소수도 고려는 하되, 기본적으로 Q의 determinant는 1이 된다는 것을 알아두자.
- prop.(2) :
다음으로 보일 determinant의 특성은 row을 교환했을 때 부호가 바뀐다는 특성이다.
사실 이건 간단하다. 3x3 단위 행렬 A의 row1과 row2를 바꾼 것은 위의 Fig. 10의 왼쪽 cube에서 v1과 v2를 바꾼 것과 같다. 또는 row2와 row3를 바꾸면 Fig. 10에서 v2와 v3를 바꾼 것과 같다. 이렇게 행교환(row exchange)을 한 번만 할 경우, 오른손 좌표계(right-handed)에서 왼손 좌표계(left-handed)로 바뀌는 것을 볼 수 있다.
- prop.(3)-1 :
prop.(3)-1은 행렬식의 어느 한 row에 상수 t를 곱한 것은 전체 determinant를 구한 다음 거기에 t를 곱해준 것과 같다는 것이다.
아래 그림은 단위 행렬을 이용하여 이 특성을 보인 것이다.
Fig. 11 determinant의 prop.(3)-1의 기하학적 특성
Fig. 11의 왼쪽 그림은 row1에 상수 2를 곱한 것을 나타낸 것이다. row1은 v1에 해당하기 때문에 v1축의 길이가 두 배로 늘어난 것을 볼 수 있다. 직관적으로 생각해봐도 v1의 길이가 두 배로 늘어나면 부피 1의 cube가 두 개인 것과 마찬가지이기 때문에 총 부피는 2인 것을 쉽게 유추할 수 있다. 실제 계산 결과도 2가 나온다. 오른쪽 그림은 row2에 상수 2를 곱한 결과이며, 마찬가지로 총 부피가 2가 되는 것을 볼 수 있다.
- prop.(3)-2 :
마지막으로 prop.(3)-2를 기하학적으로 어떻게 표현되는지 살펴보자.
prop.(3)-2는 3차원으로 표현해도 알아보기 쉽지 않기 때문에 2차원 그래프로 표현하도록 하겠다. 식은 (2)에서 사용했던 행렬을 그대로 이용할 것이다. 우선 식으로 표현하면 아래와 같다.
식 (21)은 원래 행렬식(determinant) A의 row1에 [-2 1]벡터를 더한 식을 나타낸 것이다. 이때 두 개의 행렬로 분리한 것을 각각 행렬 A와 행렬 B라고 해보자. A는 기존의 행렬을, B는 [a' b']과 row2로 만든 행렬을, F는 row1에 [a' b']을 더한 행렬을 의미한다. det A와 det B는 각각 10과 -8이므로 결과적으로 행렬 F의 determinant는 2가 된다. 이를 그림으로 표현하면 아래와 같다.
Fig. 12 행렬식의 특성 prop.(3)-2에 대한 그래프 표현
Fig. 12는 식 (21)의 각 넓이를 그래프로 표현한 것이다. 노란색 영역이 원래 행렬 A의 영역, 녹색이 분리된 행렬인 B, 그리고 마지막 하늘색 영역이 A와 B를 더한 결과이다. B를 보면 벡터가 -x방향으로 향해있으며 왼손좌표계(left-handed)의 형태를 보인다. 따라서 B의 넓이에 해당하는 녹색 영역은 음의 값(-)을 가지며, 양의 값을 가진 A의 넓이(determinant)와 더하면 결국 A의 넓이에서 B의 넓이를 빼는 셈이 된다. 결과적으로 식 (21)의 넓이는 하늘색 영역인 2가 된다. Fig. 12에 나타난 그림과 함께 prop.(3)-2를 잘 이해해 보도록 하자.
- MATLAB Code
아래 MATLAB코드는 3차원 cube를 그리는 데에 사용된 코드이다. 최적화된 코드는 아니므로 참고만 하길 추천드립니다. 앞서 prop.(3)-2에 관련된 코드는 먼저 올린 코드를 약간만 수정하면 어렵지 않게 만들 수 있기 때문에 올리지 않겠습니다.
4. 마치며
이번 포스팅에선 행렬식(determinant)의 기하학적 해석에 관한 내용을 다루었다. 기본적으로 2차원 행렬은 어떤 직사각형, 혹은 평행사변형의 정점(vertex)을 나타낼 수 있고, 3차원 행렬의 경우 상자(box)의 정점을 나타낸다. determinant를 이용하여 이 행렬이 형성하는 평행사변형의 넓이(area)나 상자의 부피(volume)를 구할 수 있음을 배웠다. 또한 determinant의 부호(sign)는 좌표계를 나타내는데, +부호인 경우 오른손 좌표계(right-handed)를, -부호인 경우엔 왼손 좌표계(left-handed)를 나타냄을 알았다. 마지막으로 행렬식의 특성 중 가장 중요한 3가지 특성이 공간상에서 어떤 의미를 갖는지 확인하였다.
이상으로 determinant에 관한 포스팅을 마치도록 하겠습니다. determinant에 관한 내용들은 앞으로 다룰 eigenvalue, eigen vector 및 선형 변환(Linear Transformation)등에 대한 이해를 위해서 반드시 필요한 내용이므로 잘 이해하고 넘어가길 추천드립니다.
다음 포스팅은 다양한 분야에서 응용되고 있는 중요한 개념인 고유값(eigenvalue), 고유 벡터(eigen vector)등을 다루도록 하겠습니다.